论数学之美欧拉及其对著名的巴塞尔问题

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被许多人认为是“自古以来最伟大的数学家”的德国数学家、天文学家和物理学家卡尔·弗里德里希·高斯曾经说过：研究欧拉的著作将仍然是不同数学领域的最佳流派，没有任何东西可以取代它——卡尔·弗里德里希·高斯图1：卡尔·弗里德里希·高斯的肖像，被称为“自古以来最伟大的数学家”本文将描述瑞士数学家莱昂哈德·欧拉如何解决著名的巴塞尔问题。欧拉是历史上最伟大的数学家之一。他还是一个多产的数学家，他的作品集共92卷。皮埃尔西蒙·德·拉普拉斯评价欧拉对数学的影响，他有一句名言：读欧拉，读欧拉，他是我们所有人的主人。——皮埃尔西蒙拉普拉斯图2.欧拉巴塞尔问题年，意大利数学家皮埃特罗蒙格利首次提出了巴塞尔问题，年，欧拉解决了这个问题，让他立即得到认可。这个问题要求自然数平方的倒数之和：式1：巴塞尔问题许多有影响力的数学家试图找到平方和的倒数之和的公式。微积分的两位共同发明人约翰·沃利斯和戈特弗里德·莱布尼茨都曾尝试过，但都以失败告终。欧拉在他还年轻的时候(28岁)就解决了这个问题，他的答案让数学界感到惊讶。他的第一个证明(后来他又提供了其他几个证明)绝不是严谨的，但它的美丽、简单和独创性是惊人的。图3：巴塞尔欧拉的故乡欧拉的独到见解是写下了sinc（πx）函数：式2作为乘积除以它的零。图4：归一化和非归一化sinc(x)函数(分别用蓝色和红色表示)为了理解这一点，考虑一下，例如，下面的四次多项式写成因式分解形式：式3将表达式展开得到：式4欧拉的策略是将同样的扩展应用到超越函数上。这类函数不满足多项式方程，如公式(4)。指数函数、三角函数和对数函数是三个著名的例子。图5：指数函数(源)、对数函数(源)和三角函数(源)的绘图。sinc（πx）函数具有以下根：式5欧拉继续将sinc(x)写成与等式3中的f(x)相同的形式。使用基本的数学恒等式由于公式5中的每个根都有一个对应的负根，所以他可以这样写：式6下一步是把方程6中的项乘起来，但只

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